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教師資格證高中數學,預測考點精編


◢預測考點精編◣

一、高中數學

考點1.導數的應用

1函數的單調性在某個區間(ab)內,如果fx>0,那么函數yfx)在這個區間內是單調遞增;如果fx<0,那么函數yfx)在這個區間內是單調遞減。

2函數的極值一般地,當函數fx)在點x0處連續時如果在x0附近的左側fx>0,右側fx<0,那么fx0)是極大值;如果在x0附近的左側fx<0,右側fx>0,那么fx0)是極小值

考點2.柯西不等式

1abcd均為實數,則(a2b2)(c2d2)(acbd)2,當且僅當adbc時等號成立

2aibi(iN*)為實數,則(na)(nb)(naibi)2,當且僅當bi0 (i1,2n)或存在一個數k,使得aikbi (i12n)時,等號成立

3柯西不等式的向量形式:設αβ為平面上的兩個向量,則|α|·|β||α·β|,當且僅當這兩個向量同向或反向時等號成立

考點3.概率

(1)古典概型概率計算公式:

2)幾何概型概率計算公式:

(3)條件概率:對于任何兩個事件AB,在已知事件A發生的條件下,事件B發生的概率叫作條件概率,用符號PB|A)來表示,其公式為PB|A)=P(A)P(AB)PA>0在古典概型中,若用nA)表示事件A中基本事件的個數,則PB|A)=n(A)n(AB)

 
二、大學數學

1.兩個中值定理

(1)羅爾中值定理:若函數f(x)在[a,b]上連續,在(a,b)上可導,且f(a)=f(b),則存在ξ∈(a,b),使

(2)Lagrange中值定理:若f(x)[a,b]上連續,在(a,b)上可導,則存在ξ∈(a,b),使

2.逆矩陣的概念和性質

(1)定義:設階矩陣,若存在階矩陣使得,則稱矩陣是可逆矩陣或非奇異矩陣,矩陣稱為矩陣的逆矩陣,記做

(2)性質:①若矩陣可逆,則逆矩陣是唯一的,記為。當矩陣可逆時,逆矩陣也可逆且。②若矩陣可逆,則矩陣也可逆且。③若,都是階可逆矩陣,則也可逆且④若矩陣可逆,為任意非零的數,則可逆且A可逆

3)求法:初等變換法(常用),

考點3.整系數多項式有理根的判別、Eisenstein判別法

(1)設,是整系數多項式,且是本原多項式。如果,其中是有理系數多項式,那么一定是整系數多項式。

(2)設是一個整系數多項式,而是它的一個有理根,其中互素,那么必有.那么的有理根都是整根,而且是的因子。

(3)(Eisenstein判別法)設是一個整系數多項式。如果有一個素數p,使得①;②;③;那么在有理數域上是不可約多項式。

 
三、數學教學能力

考點1.案例分析問題的答題思路

1)教師方面:①是否發揮主導地位;②與學生是否互動;③是否啟發、激發興趣;④是否關注每一位學生;⑤是否尊重學生(質疑和創新);⑥是否提問、評價;⑦出現錯誤,勇于承認或因勢利導。

2)學生方面:是否動腦、動眼、交流等。

3)教學環節方面:①是否遵循教學原則;②教學方法使用是否恰當。

考點2.課堂提問原則

1)目的性原則:課堂提問應有明確的目的,便于有效引導學生積極思維,為實現教學目標服務。內容應結合教學目的,圍繞本節課的教學重點和難點來進行設置。所以,課堂提問忌不分主次輕重,為提問而提問,要有的放矢,緊緊圍繞重點、針對難點、扣住疑點,體現強烈的目標意識和明確的思維方向,避免隨意性、盲目性和主觀性。

2)啟發性原則:在數學教學中,教師要善于利用提問來引導、啟迪學生的思維,使之應啟而發。

3)適度性原則:一方面,在教學過程中要恰到好處地掌握提問的頻率和時間。一節課不能提問不斷,否則學生無法冷靜有效地思考,反而破壞了課堂結構的嚴密性和完整性。但也不能沒有提問,否則整堂課會毫無生機。另一方面,問題的難易程度要科學適度。沒有難度或難度太大的問題,都會使學生失去興趣。淺顯的隨意提問引不起學生的興趣,他們隨聲附和的回答并不能反映思維的深度,超前的深奧提問又使學生不知所云,只有適度的提問,才能達到理想的效果。

4)循序漸進性原則:數學提問的設計要按照課程的邏輯順序,要考慮學生的認知順序,遵循由淺入深,由易到難,由表及里等一系列規律,讓學生能夠拾級而上,循序漸進,步步深入。前后顛倒,信口提問,只會擾亂學生的思維順序

◢預測考題精編◣

1.如圖,由M到N的電路中有4個元件,分別標為T1,T2,T3,T4,電流能通過T1,T2,T3的概率都是p,電流能通過T4的概率是0.9.電流能否通過各元件相互獨立已知T1,T2,T3中至少有一個能通過電流的概率為0.999

(1)求p;

(2)求電流能在M與N之間通過的概率

【答案】(1)p=0.9;(2)0.9891。

解析:記Ai表示事件:電流能通過Ti,i=1,2,3,4。A表示事件:T1,T2,T3中至少有一個能通過電流。B表示事件:電流能在M與N之間通過。

(1) 1·2·3,A1,A2,A3相互獨立;

P()=P(1·2·3)=P(1)P(2)P(3)

=(1-p)3,又P()=1-P(A)=1-0.999=0.001;

(1-p)3=0.001,p=0.9。

(2)B=A4+(4·A1·A3)(4·1·A2·A3)

P(B)=P(A4)+P(4·A1·A34·1·A2·A3);

=P(A4)+P(4)P(A1)P(A3)+P(4)P(1)P(A2)P(A3)

=0.9+0.1×0.9×0.9+0.1×0.1×0.9×0.9

=0.9891。

2.在閉區間上滿足,試證明存在唯一的,使得

【答案】證明:(1)存在性。

上連續,在內可導,∴由拉格朗日中值定理知,至少有一點,使得

(2)唯一性的證明如下:

【方法一】利用反證法。假設另外存在一點,使得

又∵(或)上連續,在(或)內可導;

∴由羅爾中值定理知,至少存在一點(或),使得,這與在閉區間上滿足矛盾。從而結論成立。

【方法二】∵在閉區間上滿足,∴單調遞增;

從而存在唯一的,使得。結論成立。

3.某教師關于“一元一次方程”的教學片段:

師:如何解方程3x3=6x1?

1:老師,我還沒有開始計算,就看出來了,x=1

師:光看不行,要按要求算出來才算對。

2:先兩邊同時除以3,再……(被老師打斷了)

師:你的想法是對的,但以后要注意,剛學新知識時,記住一定要按課本的格式和要求來解,這樣才能打好基礎。

請評價該教師的教學行為存在什么問題,并對教學過程中存在的問題給出相應的教學建議。

【參考答案】

這位教師提問時,把學生新穎的回答中途打斷,只滿足單一的標準答案,一味強調機械套用解題的一把步驟和“通法”。殊不知,這兩名學生的回答的確富有創造性,可惜,這種偶爾閃現的創造性思維的火花不僅沒有被呵護,反而被教師“標準的格式”輕易否定而窒息扼殺了。其實,學生的回答即使是錯的,教師也要耐心傾聽,并給予激勵性評析,這樣既可以幫助學生糾正錯誤認識,又可以激勵學生積極思考,激發學生的求異思維,從而培養學生思維能力。

有的老師提問后留給學生思考時間過短,學生沒有時間深入思考,結果問而不答或者答非所問;有的老師提問面過窄,多數學生成了陪襯,被冷落一旁,長期下去,被冷落的學生逐漸對提問失去興趣,上課也不再聽老師的,對學習失去動力。

關于課堂提問,我感覺要注意以下問題:

(1)提問要關注全體學生。提問內容設計要由易到難,由淺入深,要富有層次性,不同的問題要提問不同層次的學生。

(2)提問要有思考的價值,課堂提問要選擇一個“最佳的智能高度”進行設問,是大多數學生“跳一跳,夠得著”。

(3)提問的形式和方法要靈活多樣。注意提問的角度轉換,引導學生經歷嘗試、概括的過程,充分披露靈性,展示個性,讓學生得到的是自己探究的成果,體驗的是成功的快樂,使“冰冷的,無言的”數學知識通過“過程”變成“火熱的思考”。

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